이계도함수와 볼록성 (ft. 젠센 부등식)
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그림과 같이 이차함수 y=x^2 의 그래프와 두 점 A, B를 살펴보자.
두 점 A, B에 대해 x좌표와 y좌표를 2:1로 내분하는(?) 상황을 생각해봤을 때
x=1이고 y=3임을 확인할 수 있다.
주어진 부등식의 좌변에 해당하는 것은 f(1)이 되며
우변에 해당하는 것은 3이 되는 셈.
이때 f(1)=1이므로 1<3이어서 부등식이 성립함을 확인할 수 있다.
실제로 y=x^2는 아래로 볼록한 함수, 위로 오목한 함수, 볼록 함수이다.
반대로 y=-x^2와 같은 함수는
위로 볼록한 함수, 아래로 오목한 함수, 오목 함수이다.
확인해보면 x좌표의 내분좌표는 1이고 y좌표의 내분좌표는 -3인데
f(1)=-1이므로 -1>-3이 되어 부등호 방향이 반대임을 알 수 있다.
여기에 도함수의 도함수를 살펴보면
아래로 볼록한 함수는 양수이고
위로 볼록한 함수는 음수임을 확인할 수 있다.
도함수의 도함수는 이계도함수라고 부르기도 하며
2015 개정 교육과정 기준 (2021~2027학년도 수능)
수학2가 아닌 미적분에서만 학습하고 있다.
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헉