깡수학으로 푼 10모 수a 29번 문제
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조건 1 해석 : 세개의 접선을 가진다.
f(x)= x3+3x2 = x2(x+3)
f'(x)= 3x2+6x = 3x(x+2)
이를 통해 f(x)의 그래프가 (0,0)과 (-3,0)을 지나며 x=-2와의 교점에서 4를 극댓값으로 갖는 그래프라는 것을 알 수 있다. (극소점=0,0)
접선을 구해야 하는 자리는 (a,-4)로 이미 y좌표가 고정되어 있다.
접선 공식 > y=(3t2+6t)x-2t3-3t2
지나는 점 > (-4,a)
대입하면, -2t3-15t2-24t=y 이고, 이때 y=a와의 교점의 수가 존재하는 기울기의 수. 즉, 존재하는 접선의 수가 된다.
g(x)=2t3+15t2+24t = -a
세 접선이 존재하는 지점이어야 하므로, 교점은 3개 이상이어야 한다. (조건 1 해석)
g'(x) = 6t2+30t+24 = 6(t+4)(t+1)
따라서 3차항의 계수가 양수이므로 x=-4에서 극댓값, x=-1에서 극솟값을 갖는다.
그리고, 3차함수의 그래프와 y=-a의 교점이 3개이려면 극댓값>-a>극솟값 꼴을 취해야만 한다.
g(-4)=16 (극댓값) , g(-1)=-11 (극솟값)
따라서 16>-a>-11
조건 1의 최종결론 : -16<a<11
조건 2 해석 : 세 접선의 기울기의 곱이 음의 부호를 가진다.
접선의 기울기 : f'(x)=3x2+6x=3x(x+2)
이므로, f'(x)의 그래프 개형을 추론할 수 있다.
이 때, g(x)=-a와 일치하는 점에서의 x값을 f'(x)에 대입한 것이 접선의 기울기가 된다. 또한 근의 공식을 통해 g(-2)<0임을 알 수 있다.
g(x)=-a의 세 교점의 x좌표값을 작은 수부터 각각 x1, x2, x3라고 하면, f'(x1)f'(x2)f'(x3)<0 이어야 한다.
a의 최댓값은 조건 1에 의하면 11인데, a=11일 경우 f'(x1)만 양수이고 나머지는 음수이므로 곱이 음이라는 조건2가 성립하지 않는다. 따라서 수를 줄일 경우, f'(x1)는 항상 양수이며 f'(x2)가 가장 먼저 음에서 양으로 부호가 바뀜을 확인할 수 있다.
f'(x2)=0이 될 때의 a값을 구하면,
f'(-2)=0, g(-2)=-4
따라서 -a가 -4일 때, 즉 a=4일 때 f'(x2)=0이다.
조건은 f'(x2)>0이므로, -a>-4이다. (=a<3)
따라서, 두 조건을 a가 포함된 부등식으로 연립해보면
조건1) -16<a<11
조건2) a<4
a 최댓값은 3, a의 최댓값이 M이고 문제는 M2을 구하라 하였으므로,
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아핫.. 전 조건1만해서 틀렸군요 ㅠㅠ
ㄷㄷ 훌륭하시네요 전 그래프로 풀었는데...
전 그래프로 풀다가 너무 어려워서 수식으로 돌려서 풀었어요!
해설 깔끔하네요! 직관적으로 접선 갯수 f(x)상에서 찾는것보다 이게 교육과정에 좀 더 부합하는 풀이죠 ㅋㅋㅋ수B에선 이미 루틴이기도 하구요..
감사합니다. 저는 답지보고 저걸 어떻게 직관으로 찾지 싶었어요..