24 수특 미적 comment

1. 수열의 극한

level2 1: 전에 어떤 분이 오르비에 선별해주셨던 자료에서 봤었는데 an이 -3/2로 수렴해야 q가 0이 되고 답이 9가 됩니다.

level3 2: 도형 상황 정리해서 f(n) 작성해내고 귀류법으로 b값 결정 후 세부 수치로 a값 확정하는, 깔끔한 문제였다고 느꼈습니다. 두 원의 중심을 이은 선분과 f(n)의 길이를 갖는 문제에 주어진 현이 서로 직교함을 논리적으로 보일 수 있어야하고 2022학년도 수능 예시문항 21번이 떠오르면 좋습니다.

2. 급수

예제2: 개념 확인하기 좋은 깔끔한 문항이라고 생각합니다.

level2 3: 자주 보이는 유형이라 '비율 찾아 등비급수 쓰면 되겠군'이라는 생각을 바로 할 수 있으실테지만, 저런 유형이 처음 출제되었다면 어떻게 행동했을지 고민해보시는 과정에서 얻어갈 것들이 있다 생각합니다. 평소에 수학 공부를 할 때에도 '이 문제(유형)가 올해 수능에 처음 나왔다면 나는 현장에서 어떻게 행동했을까? 문제를 현장에서 풀어내기 위해서는 어떻게 행동해야할까?' 하는 생각을 하며 시간을 보내면 실력 향상과 그에 따른 성적 향상에 직접적인 도움이 된다 느꼈습니다!

3. 여러 가지 함수의 미분

유제4: '~~을 g(t)라 할 때'와 같은 발문은 수학2/미적분에서 전통적으로 나타나고 있는 발문 중 하나입니다. 변수이냐 상수이냐를 구분하고 서로 다른 문자 간의 관계를 파악하는 능력은 중요하다고 생각하며 미적분 선택자 분들의 경우 2022학년도 6월 미적분 29번과 같은 음함수 미분법에서 이 능력이 필요하다 생각하기 때문에 확인해두시면 좋겠습니다.

예제4: 원을 포함한 도형 문제 상황이 나오면 원의 중심에 초점을 두고 상황을 정리해보는 것이 좋습니다. 이는 팁이나 풀이 방법론이라기보다 원의 정의가 원의 중심에 초점을 두고 있음을 이용하는 것입니다. 원의 정의는 '한 점으로부터 거리가 일정한 점들의 자취'입니다.

유제8: 근사 말고 lim 분배 (교과서적 풀이) 로 꼭 접근해보시기 바랍니다.

level1 2: 무리수 e의 정의와 관련하여 생각해볼 수 있는 것이, f^g 꼴에서 f는 1로 수렴하고 g는 무한대로 발산할 때의 상황입니다. 대부분 e와 관련이 있으며 꼴 맞춰주기를 통해 문제 상황을 해결하실 수 있습니다. 어렵게 내면 다음과 같습니다.

참고로 sinh(x)는 hyperbolic sine function으로 다음과 같습니다!

level2 1: 복잡해보이지만 정리하면 간단하고, 망원화 상황입니다.

level2 8: 원주각과 중심각의 관계, 호의 길이와 중심각의 관계, 원의 반지름을 두 변의 길이로 하는 이등변삼각형, 원의 중심에서 현에 수직이등분선, 원의 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형 등 원을 포함한 도형 문제 상황에서 생각해볼 부분들을 정리할 수 있는 좋은 문제라고 생각합니다.

level3 1: 각 점의 좌표 구해서 f, g 식 작성한 후 '극한이 수렴한다'와 '극한값이 특정 값이다'를 이용해 상황을 정리하는 연습하기 좋은 문항이었습니다. 전형적이나 수능에 출제되기엔 뻔한? 그런데 요새 킬러문항 폐지니 뭐니 하는 거 보면 올해 수능에 연계되어 출제할 가능성도 배제할 수는 없다는 생각도 듭니다.

level3 2: 원이 보이니 원의 중심에서 생각을 시작해봅니다. 원 위의 점과 원의 중심을 연결해주고 점 B에는 수선의 발을 내려줍니다. 피타고라스의 정리가 성립하므로 각 CAO도 직각입니다. 이제 각 COA와 각 AOB의 크기를 각각 a, b라 해주면 a, b의 tan값을 구하실 수 있습니다. 이후 덧셈정리를 이용해 각 BOD의 크기를 pi-(a+b)로 이해하면 삼각형 BOD에서 선분 OD의 길이를 구할 수 있고 그것에 -1을 곱하면 a값을 구하실 수 있습니다. 복잡해보이지만 풀이는 단순한 문제!

level3 3: 각 DBC의 크기를 alpha라 하면 tan(alpha)=tan(theta)/4가 됩니다.

4. 여러 가지 미분법

예제2: 양변에 1+lnㅣxㅣ를 곱해 양변을 미분해주면 f'(x)*(1+lnㅣxㅣ)+f(x)/x=0이 되어 f'(x)를 구할 수도 있습니다.

유제5: 매개변수 미분법을 이용해 이계도함수값 구하라 시키는 것도 출제할 만한데 안하네요

예제5: 미분가능한 함수의 역함수가 미분가능하지 않을 때는 미분가능한 함수의 미분계수값이 0일 때입니다.

level2 1: 차분하게 절댓값 안이 0이 될 때를 기준으로 나누어 식 작성해주시면 됩니다.

level2 7: 등속 운동을 한다는 조건도 없고 그냥 출발 지점과 도착 지점만 주어졌기 때문에 일반화된 상황을 생각해야합니다. 그림을 따를 때, 감소하지 않는 최댓값이 10인 연속함수 f(t)에 대해 점 Q, P의 위치를 각각 10-f(t), 20-2f(t)라 할 수 있습니다. 이후 삼각형 AOQ, AOP에서 각각 tan(alpha)와 tan(beta)값을 f(t)에 관해 나타낼 수 있습니다. 양변을 alpha에 대해 미분하면 f'(t), dt/d(alpha), d(beta)/d(alpha)를 얻을 수 있습니다. 이제 f(t)=5일 때 각 값을 구해주면 f'(t)*dt/d(alpha)=-10, tan(alpha)=1, tan(beta)=2가 되어 d(beta)/d(alpha)=4/5임을 얻을 수 있습니다.

level2 8: 매개변수 미분법과 역함수 미분법을 함께 물어본 깔끔한 문항이라고 생각합니다.

level3 1: 2024학년도 6월 미적분 29번 연계

level3 3: 평균값 정리와 역함수 미분법

5. 도함수의 활용

유제4: 이차함수 y=x^2+x에 삼각함수 y=sin(x)가 합성된 형태로 바라보시면 미분 없이 해결하실 수 있습니다.

유제6: 유리함수든 지수함수든 복잡한 함수든 점근선 파악은 중요한 정보로 다가옵니다.

유제7: 상황 파악은 a^(x-1)과 3x+b를 비교하는 수학1 상황으로 바라보실 수 있습니다. 만약 지수함수가 감소한다면 부등식은 x>k 꼴로 나오기에 안되고 따라서 지수함수는 증가합니다. 지수함수가 증가할 때 직선이 지수함수에 접해야 부등식을 만족하지 않는 x값이 하나 존재하게 됩니다.

level2 3: b값은 미분 없이 그래프 평행, 대칭이동으로 구하실 수 있어야합니다.

level2 4: x=0을 포함하는 특정 구간에서 아래로 볼록이려면 연속함수 f(x)=-e^(-x^2)가 되어야 합니다. f(x)가 아래로 볼록인 구간은 (-1/sqrt2, 1/sqrt2)이므로 a의 최댓값은 1/sqrt2입니다.

level2 7: 합성방정식으로 해석해 두 개의 방정식을 바라보셔도 좋고 합성함수로 해석해 그래프를 직접 그린 후 상황을 바라봐도 좋겠습니다. 두 가지 풀이 모두 해보시기 바랍니다. 합성방정식으로 해석할 경우 그냥 수학1 문제이기도 합니다. 지난 4월 교육청 모의고사 10번대 초반이었나에 있던 문제와 함께 바라보시면 학습에 도움이 될 것이라 생각합니다.

level3 1: 접선 문제 상황은 접점을 명명함으로써 해결을 시작할 수 있습니다. 접점의 x좌표를 u 정도로 잡아봅시다. t=e^(3/2)/2일 때 u=-3/2와 du/dt값을 구해 f'(t)값을 구해낼 수 있습니다.

level3 2: cos(x)에 관한 이차함수로 해석

level3 3: 전형적인 전형적인 전형적인 문항입니다. 차분히 해결해보시면 좋겠습니다. 아직 수능 미적분 문항에 익숙하지 않으신 분들의 경우 이 문항을 논리적으로 해결해봄으로써 효과적인 실력 향상을 이룰 수 있을 것으로 예상합니다. f(x)가 x=0에서 극값을 가짐을 미분 없이 합성함수의 해석으로 떠올려보실 수도 있어야합니다. 극값의 정의에는 미분이 개입되지 않습니다.

6. 여러 가지 적분법

유제7: 이계부정적분?으로 이해해볼 수 있습니다.

level2 3: 부분적분법을 이용해 f(0)=1, f(3pi/2)=3pi/2+1을 얻어 f(x)=x+1 확정할 수 있습니다. 이후 다시 부분적분법을 이용해 적분값 계산해주면 되겠습니다.

level3 1: 양변을 x^2로 나누어주면 좌변은 f(x)/x의 도함수입니다. 이 정도 식 조작을 통한 각 재기는 하실 줄 알면 좋습니다.

level3 3: 2021학년도 9월 가형 20번이 떠오르면 좋습니다.

7. 정적분의 활용

유제2: 연습하기 좋은 문항이라고 생각합니다. 구분구적법(Riemman Sum), 인수분해를 통한 약분, 치환적분법 등

예제2: 저거 인수분해각을 어떻게 찾지? 2022학년도 6월 미적분 30번이 떠오르는 시작이었습니다. 정 안 보이시면 e^x에 관한 이차방정식인 것까지만 파악하고 근의 공식에 넣어서라도 근을 찾으셔야 합니다. 근의 공식 두려워하지 맙시다, 2024학년도 6월 미적분 28번도 f(x) 식을 직접 작성해내려면 근의 공식 혹은 근의 공식 유도 과정 (양변에 +1 더하기) 을 통해 f(x)에 관한 이차방정식의 해를 구했어야 합니다.

유제9: 2022학년도 수능 미적분 27번처럼 자주 나오진 않지만 나왔을 때 확실하게 풀어낼 수 있어야하는 내용들이 미적분 뒷부분에 있습니다. 꼼꼼히 공부해둡시다!

level1 2: 보통 k/n을 x로 두기 때문에 헷갈릴 수 있습니다. 논리적으로 접근해봅시다.

level1 3: y=x^2을 [0, 4]에서 적분한 값을 4x16에서 빼준 값과 같습니다. 수식이 의미하는 것이 무엇인지 파악한 후 보다 단순한 계산법을 찾아 계산하는 것은 중요한 능력 중 하나입니다.

level1 10: 2차원 평면 위의 물체가 이동한 거리, 곡선의 길이를 구하는 공식을 2개 배우는데 하나는 끝이 dx고 하나는 dt입니다. 치환적분을 통해 서로가 같은 식임을 보일 수 있습니다. 다시 말해 곡선의 길이를 물체가 이동한 거리로, 물체가 이동한 거리를 곡선의 길이로 해석할 수 있으니 확인해보시면 좋겠습니다. 

level2 1: 시그마 기호 이용해 정리한 다음에 정적분으로 고쳐 계산해주시면 되겠습니다. 이와 같은 문항은 수리 논술에도 종종 보이니 기억해두시면 좋겠습니다. 참고로 무한급수를 정적분으로 바꾸는 것은 고등학교 수준에서는 '그렇게 된다'라고만 소개합니다. 후에 Riemman Sum 관련해 학습해보시면 (물론 그것도 '그렇게 된다'라고만 소개하긴 하지만) 보다 깊은 이해를 해보실 수 있을 거예요. 완벽히 엄밀한 것은 입실론-델타 논법을 통해 함수의 극한을 엄밀히 공부한 다음에 이를 이용해 정적분의 정의를 설명하면 되는데... 수학과 가서 하십쇼.

level2 2: 2024학년도 수능 대비 한완수 기하 편에 따르면 순수 도형 성질만으로 문제 상황을 접근하는 것을 논증 기하의 방식, 좌표에 올려 좌표 평면을 이용하는 것이 해석 기하의 방식이라고 하더라고요! 뭐 그게 그거긴 하다고 생각하는데 이 문제는 해석 기하의 관점으로 바라보는 것이 보다 깔끔하다고 생각합니다. 밑변이 정사각형의 왼쪽 변, 높이가 주어진 점의 x좌표인 삼각형의 넓이로요! (왼쪽 아래 꼭짓점을 원점으로)

level2 3: 치역에 음수인 원소를 포함하는 함수를 제시했다면 생각할 거리가 꽤 되었겠지만 sin(x)+2는 항상 양수에서 놀기 때문에 편안하게 접근해주시면 됩니다. 정적분으로 정의된 함수 관점으로 접근하셔도 굿!

level2 4: 적분 연습!

저는 이게 젤 깔끔한 듯, 검산은 결과값 다시 미분해보세요

이를 이용하면 다음과 같은 항등식에서 f(x)가 될 수 있는 후보 한 개를 바로 찾아낼 수도 있겠죠!

f(x)=tan(x)+C일 때 상황이 성립한다,,, 뭐 이런 식으로

level3 1: '교과 내 출제'에 초점을 둔다면 이러한 문제를 수능에서 보게 될 수도 있을 것이라 생각합니다. 다른 평가원 기출 문항들에 비해 쉬운 문제이지만 지난 6월 모의고사처럼 현장에서 수험생 분들을 충분히 당황하게 만들 수 있는 문제라고 생각합니다. 제가 수험생이었을 때 '문제를 가려풀면 안된다'라는 말을 듣고 맞는 말이라고 생각했던 기억이 있는데 이와 비슷한 맥락에서 ebs 연계교재 정도는 꼭 2번 씩은 풀어보는 것이 좋다고 생각합니다. (물론 저도 수능 준비할 때 0.5회독 하고 수능 보긴 했습니다만 ㅋㅋ)

level3 2: 보통 단면적을 주고 직접 부피 구하라는 문제만 전통적으로 출제되어 왔는데 이런 것도 연습해두시면 나쁠 거 없겠죠? 항상 무언가를 주고 무언가를 묻는 전형적인 문제에서는 역으로 기존에 묻던 무언가를 주고 기존에 주던 무언가를 묻는 문항을 직접 만들어 풀어보시는 것도 좋은 공부라고 생각합니다.

level3 3: 점 R의 좌표 작성해 dx/dt, dy/dt 구하고 R의 이동거리 구해주면 되겠죠? 혹은 속력함수 적분 말고 1+(dy/dx)^2에 루트 씌운 함수를 t가 아닌 x에 대해 (매개변수가 아닌 물체의 x좌표) 적분하는 풀이도 작성해보시기 바랍니다. 2022학년도 수능 미적분 27번이 떠오르면 좋습니다.