합성함수와 선대칭, 점대칭관계에 대해서
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합성함수의 대칭에 대해서 계속 고민해봤는데
f(g(x))=h(x) 이고 f,g,h 가 모두 연속함수이고 모든 x에 대해서 정의될때
h(x)가 x=c 에서 선대칭이라면 1. g(x) 가 x=c에서 선대칭인 케이스 2. f(b) =c , g(a)=b라고 했을때 f가 x=b 에 대해 선대칭이고 g가 (a.b) 에 대해 점대칭인 케이스 이렇게 두 경우밖에 안된다는 결론이 나왔는데 혹시 반례가 있을까요?
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h(x+a)=h(a-x)
->fg(x+a)=fg(a-x)이다.
1) f(x)가 선대칭 함수일 경우
선대칭 기준점을 b라고 하면
g(x+a)=g(a-x) or g(x+a)=2b-g(a-x)이므로
g(x+a)+g(a-x)=2b이므로
g(x)는 x=a선대칭 or (a,b)점대칭이다.
2) f(x)가 선대칭이 아닐경우
g(x+a)=g(a-x)이다.
이런식으로 수식적 증명 해보시면 될듯해요!
h(c-x)=h(c+x), 다시 말해
f(g(c-x))=f(g(c+x))
만약 g(c-x)=a, g(c-x)=b라고 할 때
f(a)=f(b)를 보는 상황과 같음
이때 a=b일 수도 a=/=b일 수도 있는데 a=b는 함수 g(x)도 x=c에 대해 선대칭인 상황
a=/=b면 꼭 함수 g(x)가 점 (c, g(c))에 대칭이고 함수 f(x)가 x=g(c)에 대해 대칭이 아니어도 가능한 경우가 존재할 수 있지 않나요? 구체적인 반례가 떠오르진 않는데 유일성을 증명할 방법이 생각나지 않아서 여쭤봅니다
저는 조금 다른방법으로 했는데 아마 세 함수가 모두 연속이라는 조건에 어긋날거같아요
음.. 먼저 책참님 말씀에 답변 드리자면 두 점 a,b가 선대칭점이라면 제 생각에는
g(x)는 항상 점대칭일거같고,
굳이 반례가 존재한다면 두 점 a, b가 서로
선대칭점이 아닐 경우가 존재하겠네요.
예를 들어서 f(x)=(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)일때
f(x)는 x=3에 대한 선대칭이고,
f(1)=f(4)이지만 서로 대칭점이 아니기때문에
g(x)가 점대칭이 아닐수도 있긴 하겠네요
근데 두 점 a, b가 서로 선대칭점일 경우에는 g(x)는 항상 점대칭일듯 합니다.
연속함수 f(x), g(x)에 대해 h(x)=f(g(x))를 정의할 때
1) g(x)가 x=a 대칭
h(x)는 x=a 대칭이다.
2-1) g(x)가 점 (a, g(a)) 대칭 & f(x)가 x=g(a) 대칭
h(x)는 x=a 대칭이다.
2-2) g(x)가 점 (a, g(a)) 대칭 & f(x)가 점 (g(a), f(g(a))) 대칭
h(x)는 점 (a, f(g(a))) 대칭이다.
이렇게는 결론을 낼 수 있는데 각 상황에서 주어진 두 명제들이 필요충분조건은 아니라고 알고 있어서.. (다시 말해 P일 때 Q라고 해서 Q일 때 P라고 할 수는 없으므로) 여쭤봤습니다. 답변해주셔서 감사드립니다!
오 우와 멋지네요 제가 3시간동안 양변에 구간나눈 역함수 취해서 케이스 분류하던 노력이 저렇게 표현될수있구나..
혹시 h가 점대칭인 경우라면 두 함수가 정확하게 점대칭으로 맞물리는 케이스 하나밖에 없는것도 맞을까요?
h가 점대칭이라면 마찬가지로 수식적으로는
h(x+a)=-h(a-x)
->fg(x+a)=-fg(a-x)이고
1) f가 점대칭일 경우
점대칭점을 b라고 하면
g(x+a)+g(a-x)=2b 즉 (a,b)점대칭입니다.
물론 위에 답변처럼 g(x+a)와 g(a-x)가 b에 대한 점대칭점이라는 가정하에 나타낸 풀이입니다.
2) f가 점대칭이 아닐경우
이 경우에는 만족시키는 개형이 무진장 많을것 같은데 간단하게 생각해보면
f(x)=0, g(x)가 x=a선대칭일 경우에는
g(x+a)=g(a-x)이므로 fg(x+a)=0이다. 뭐 이런 경우거 있겠네요
g(x+a)=g(a-x) or g(x+a)=2b-g(a-x)이므로 ---- 이 부분에서 궁금한게
모든 x에 대해서 g(x+a)=g(a-x) 또는 g(x+a)=2b-g(a-x) 인거라
모든 x에 대해서 g(x+a)=g(a-x) 또는 모든 x에 대해서g(x+a)=2b-g(a-x) . 즉 이 함수는 선대칭 또는 점대칭이다. 라는걸 담보하는건 아니잖아요.
그런데 g가 연속이라는 조건이 있는상황에서 g(x+a)=g(a-x) 와 g(x+a)=2b-g(a-x)를 연속성을 해치지 않으면서 갈아탈수 있나요? g가 특정 구간에서 g(x)=b 인 경우 (즉 잠시 점대칭이면서 선대칭인 상수함수 구간을 갖고 이 구간이 x=a에 대해서 대칭적으로 나오는 경우) 가 유일한 반례일거라는 생각이 들기도 하는데.. 맞을까요?
음.. 이거는 작성자분이 or의 의미를 잘못 이해하신듯 해요
or이 들어가면 이것 또는 이것이라는 의미이기때문에 ex) a가 아니면 b이다.
g(a+x)+g(a-x)=2b or g(x+a)=g(a-x)이다.
의 의미는 연속성이 보장되고, 어떠한 구간에서는 점대칭이거나 선대칭이다. 라는 의미이기때문에 작성자분 말씀대로 어떠한 구간에서는 g(x)가 점대칭이고, 어떠한 구간에서는 선대칭일수도 있어요
예를 들어서 g(x)를 (-2,2)일때는 x²-4라고 하고 (-무한대,-2)일때는 g(x)=x+2
(2,무한대)일때 g(x)=x-2라고 하면
구간 (-2,2)일때 g(x)는 선대칭이지만
나머지 구간에서는 점대칭이 되는 경우가 있어요
or은 둘중에 하나를 택한다 라고 생각하시면 될듯합니다.