[규토] 9평 문항분석 및 손풀이 해설지

★ 9/8 pm 8 : 30  9평 라이트 N제 참고문항 업로드

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@해설지를 다운받으셔서 아래 글과 같이 보시면 이해가 편하실 겁니다.

<공통>

9번

베타1 과 베타2는 방정식 g(x)=k의 서로 다른 실근이므로

굳이 y=g(x)의 그래프를 그릴 필요없이 

방정식을 간단히 하여 cospix/6= -1/2 를 만족시키는 두 실근을 구하면 됩니다.

11번

a의 n제곱근을 묻는 문제였습니다. 

x^n=a 라는 방정식을 떠올렸어야 합니다.

전개하다보면 (n-2)^2=k-8을 만족시키는 자연수 n이 2개가 나오도록

k를 설정해주면 되는 문제였습니다. 

(y=(x-2)^2 과 y=k-8의 서로 다른 두 교점의 x좌표가 모두 자연수)

12번 

근과 계수의 관계를 적극 활용하는 문제였습니다. 

A의 x좌표와 B의 x좌표를 각각 베타, 알파 라두고 

근과 계수의관계를 통해 선분 AH와 CH를 t로 표현하는 문제입니다.

CH의 경우 대칭성을 활용하면 점 C의 x좌표가 -베타이므로

알파 - (-베타)=알파+베타라는 식을 얻을 수 있었습니다.

문제에서 언급하진 않았지만 선분 AB의 길이를 구할 때도

삼각형 ABH가 직각 이등변삼각형인 것을 바탕으로

선분 AH에 루트2를 곱해서 구할 수 있었습니다.

13번

나름 까다로운 삼각함수 활용문제였습니다.

확실히 6평에서 10번으로 나올 때보다 

이번 9평에서 13번에 나올 때 난이도차이가 있었습니다.

원이기 때문에 AO=OC=OD=OB 모두 반지름으로 같습니다.

선분 OE=a라 두고 삼각형 OED에서 cos법칙을 사용하여

a=1임을 알 수 있고

다시 삼각형 AEO에서 cos법칙을 사용하여 

선분 AE=4루트2인 것을 얻을 수 있었습니다.

다시 삼각형 AEC에서 cos법칙을 사용하여 

선분 AC의 길이가 4루트5인 것을 알 수 있었습니다.

14번

f(x)의 개형추론을 바탕으로 접근하는 문제였습니다.

ㄱ에서 g(0)=0인 것을 바탕으로 f(x)>=0 (0<=x<=1)인 것을

끌어낼 수 있고 이를 바탕으로 f(x)의 개형을 case분류하여

확인해보면 g(-1)<0인 것이 자명합니다.

ㄴ에서는 ㄱ에서 구했던 개형들을 활용하여 구할 수 있는데

해설지에도 적어놓은 것처럼 삼차함수의 성질로 풀어도되고 

직접 계산하여 구해도 됩니다.

(아마도 ㄷ과의 연관성을 고려해볼 때 직접 계산하여 구하는 것이

출제의도일 가능성이 높습니다.)

ㄷ은 ㄴ을 바탕으로 구한 f(x)의 개형을 바탕으로

f(x)=x(x-a)(x-1)이라고 두고 직접 계산하여

g(0)<-1임을 보일 수 있었습니다. 

15번

이런 문제들은 일일이 나열해보면서 규칙을 찾아주는 문제입니다.

우선 실마리가 되는 a4=r 을 바탕으로

a3 a2 a1 까지 역추적으로 모두 구할 수 있고

a8에서 값이 r^2임을 바탕으로 r을 구할 수 있었습니다.

그 후 규칙성을 발견하면 되는 문제였습니다.

나름 시간이 많이 걸리는 문제이므로 

다른 쉬운 문제들을 다 풀어 놓고 도전하는 것이

바람직합니다.

기출에도 이와 비슷한 문제들이 정말 많으니

수학적 귀납법 킬러 기출을 꼭 풀어보시길 추천드립니다.

20번

접선과 넓이를 모두 물어본 문제였습니다.

접점을 t로 두고 일사천리로 풀어줄 수 있었습니다.

만약 이 문제가 다소 어려웠다면

접선의 방정식과 절댓값함수 + 넓이 문제를 보강할 필요가 있습니다.

예제 문제의 결합으로 반드시 맞춰야 하는 문제였습니다.

범위를 나누어서 적분하는 것은 과거 기출에도 

굉장히 많이 나왔던 소재이기도 합니다.

21번

이문제는 이등변삼각형 2개를 발견하는 것부터

시작해야하는 문제입니다. 

발견했다면 큰 어려움 없이 닮음비와 대칭성으로 

답을 구할 수 있었습니다.

도형해석 부분이 잘 되어있지 않은 학생들은

다소 어렵게 느꼈을 수도 있었을 것 같습니다.

22번

y=2p-f(x)는 f(x)를 y=p에 대하여 대칭시킨 그래프라는 것을

리딩하는 문제였습니다. 

<고득점 N제 수1+수2 40번 문항>

즉, 2f(t)-f(x)는 f(x)를 y=f(t)에 대하여 대칭시킨 그래프입니다.

대략적인 그래프를 그려보고 감을 잡은 뒤

개형추론을 시작하면 됩니다.

x축이 핵심인데 최대한 특수한 포인트부터

시도해보는 것이 좋습니다.

결국 극솟값이 4라는 것을 파악할 수 있고

극값차 공식을 통해 극소를 갖는 x값이 5인것을

찾고 식세우기 테크닉으로 f(x)의 식을 구할 수 있었습니다.

<확통>

26번

A가 B와 이웃 + A가 C와 이웃 - A가 B,C와 모두 이웃

을 이용하여 구할 수 있었습니다.

이와 비슷한 문제는 과거 기출에 정말 많기 때문에

만약 틀렸다면 기출을 점검할 필요가 있습니다.

27번

약간의 노가다가 있긴하지만

통계는 개념이므로 개념만 확실히 

안다면 쉽게 답을 도출할 수 있었습니다.

28번

5의 배수이므로 

1. 5가 0개 들어갈 때 2. 5개 1개 들어갈 때

이렇게 두가지로 case분류하여 접근할 수 있었습니다.

참고로 문제에서 서로 다른 3개를 선택했기 때문에

중복은 가능하지 않습니다. 

3의 배수이므로 나머지로 접근하여 각각에 대해 

case분류하여 구할 수 있었습니다.

3의 배수도 굉장히 자주 출제된 빈출요소기 때문에

만약 접근이 어려웠다면 반드시 기출을 보충하시기 바랍니다.

조심해야할 포인트는 중복이 되지 않도록 나열하는 것입니다.

29번

다소 노가다 스러운 문제였지만

합이 11이 되도록 case분류만 잘하였다면 

쉽게 구하실 수 있었습니다.

만약 무슨 뜻인지 조차 몰랐다면

표본평균에 대한 개념과 이에 관한 기출문제학습을

꼭 해주셔야합니다. 

중복이 되지 않도록 빠짐없이 세는 방법은

라이트 N제 확통 해설 p139 094번 tip에 수록해 두었습니다.

30번

아마 문제 리딩이 안된 학생들이 많을 것 같습니다.

우선 n(A)<=3 인 것을 바탕으로

1 2 3 일 때 각각 case분류할 수 있고

n(A)=1인 경우는 (다) 조건에 위배되어 모순입니다.

n(A)=2인 경우 치역을 1 2 라고 가정하면 5C2이고

(나) 조건에 의해 n(B)=2이므로 

f(1)=1, f(2)=2 또는 f(1)=2, f(2)=1 이렇게 2가지 가능한데

(다) 조건때문에 f(1)=2, f(2)=1 만 가능합니다.

그후 정의역 3 5 5는 1 2 중 어디를 가던 상관없기 때문에

2^3=8이므로 5C2 x 1x8=80가지입니다.

마찬가지로 n(A)=3일때도 적용시켜보면 

5C3 x 2 x 9=180가지가 나와

결국 260이 답이 됩니다.

합성함수의 치역의 개수를 물어보는 문제는

과거 기출에도 출제된 적이 있었습니다.

<미적분>

27번 

삼각형 A1E1D1에서 cos법칙을 사용하여

선분 A2B2의 길이를 구할 수 있었고

전형적인 등비급수 도형문제 메커니즘대로

풀어주면 되었습니다.

덧셈정리나 사인법칙 코사인법칙이

쓰일 수 있다는 생각을 꼭 가지고 계셔야합니다.

27번

6월 29번의 연장선에 있는 문제였습니다

이등변삼각형의 대각을 활용한 문제였습니다. 

(이문제의 포인트라고 해도 과언이아님)

이 문제도 보조선이 중요한데 

선분 OC를 그어주면

선분 CP=선분 AP이므로 두 호 CP AP가 같기 때문에 

각 COP도 세타가 됩니다. 

이를 바탕으로 각 CPD를 구할 수 있고

f(세타)를 구할 수 있었습니다.

삼각형 POD에서 sin법칙을 이용하여 

선분 OD의 길이를 구할 수 있었고

이를 바탕으로 선분 DA의 길이를 구하여

g(세타)를 구할 수 있었습니다.

식을 어떻게 세웠냐에 따라 

계산이 복잡할 수 있는데 

저의 경우는 약분할꺼 최대한 약분한 뒤에

마지막에 로피탈로 처리하였습니다.

나름 까다로운 문제였습니다.

29번

요즘 자주 출제되는 음함수 미분법문제입니다.

이번에는 음함수 미분법에 역함수까지 결합된 문제로

출제되었습니다.

x=s에서 최소라는 것을 바탕으로

s와 t에 대한 관계식을 끌어낼 수 있고

이 관계식과 f(s)=e^s+s=g(t)를 

이용하여 답을 구하는 문제였습니다. 

이와 비슷한 유형의 문제는 기출문제에도 다수 있으니

꼭 풀어보시길 추천드립니다.

다소 헷갈릴 가능성이 있기 때문에 이문제만큼은

백지에 깔끔하게 논리적으로 다시 풀어보셨으면 좋겠습니다.

30번

숨겨진 조건을 바탕으로 f(x)의 개형을 추론하고

(나)를 이용하여 답을 도출하는 문제였습니다.

(가) 조건에서 x<= -3에서 x= -3에서 최솟값을 갖습니다.

x>0에서 g(x)>=0인 것과 (나)조건을 결합하여

x>-3에서 f'(x)>=0 즉, 증가한다는 것을 파악할 수 있었습니다.

또한 (나) 식에 x=0을 넣어

f'(0)=0임을 알 수 있었습니다.

이 3가지 조건을 바탕으로 f(x)를 추론할 수 있었습니다.

f'(x)=4x^2(x+3)가 나옴을 알 수 있습니다.

여기까지 왔는데 막힐 수도 있을 것 같습니다.

f(x)를 직접 구했더라도 g(x)의 적분값을 구하기 만만치 않기 때문입니다.

여기서 몫미분을 떠올릴 수 있습니다.

(-1/f(x)-f(0) ) ' = f'(x) / (f(x)-f(0))^2 이기 때문에 

이를 활용하여 적분값을 구할 수 있었습니다.

인테그랄 4~5까지g(x)dx= 인테그랄1~2 g(x+3)dx로 변형하여

구해주면 되었습니다.

f(x)라고 안주고 f(x)-f(0)을 준이유는

적분상수값과 관계없음을 나타내기 위함으로 볼 수 있습니다.

<기하>

27번 

전형적인 삼수선 정리였고 

보는 각도를 바꿔 다시그리면 쉽게 구할 수 있었습니다.

28번

이차곡선은 첫번째로 정의를 떠올려야합니다.

AF1 = AF2에 집착해서 점과 점사이의 거리공식을

쓰는 것은 기본태도가 아닙니다.

결국 이차곡선의 정의에 의해 두 준선이 같다

는 것을 바탕으로 f(p)=p-1인 것을 알 수 있고

오직 p가 하나 되도록 하기 위해서

판별식을 써주면 a값을 도출할 수 있습니다.

29번

공간좌표는 공간도형문제를 표현하는 하나의 방법일 뿐이고

결국 공간도형문제라고 볼 수 있습니다.

그림을 그려 알파 평면에 대한 감을 잡고

단면화를 사용하여 입체를 평면도형화 시키는 것이 핵심입니다.

저같은 경우는 해설지에서와 같이 

코사인법칙을 이용하여 길이비를 구하여

평면 알파와 (0,0,-7)사이의 거리를 구했습니다.

그후 평면과 평면이 이루는 각은

각평면에 수직인 두 직선이 이루는 각과 

같다를 이용하여 이면각을 구하여 답을 냈습니다.

30번

이문제는 아주 조심해야하는 문제입니다.

기존 자취 문제들 같은 경우 점 P와 점 Q의 자취가

나름 독립적이었는데

이문제의 경우는 (나) 조건에 의해 

점 P와 Q가 서로 종속적 관계입니다.

따라서 해설지처럼 중점 벡터를 이용하여

점 M의 자취를 구한 뒤 2배해주는 

풀이가 바람직합니다. 

대칭성에 의해서 오른쪽만 구한 뒤 추후 마지막 도출값에서 

2배만 해주면 되었습니다.

<총평 >

(공통) 

전반적으로 까다롭게 출제되었습니다. 

현재 1컷이 88, 85, 86 (확통, 미적,기하) 인 것이 증거이기도 합니다.

4점의 난이도가 전반적으로 높아졌기에 (한문제한문제가 묵직함)

학생들이 시험장에서 느끼는 

체감난이도는 더욱 더 높았을 것 같습니다. 

문제 자체도 포장의 기술을 최대한 활용하여

시간이 걸리도록 만들었고 

계산도 많아서 시간관리가 매우 중요한 시험이었습니다.

기출문제와 시중 N제들을 심도있게 풀어보지 않은 학생들에게는

매우 어렵게 느껴졌을 것 같습니다. 

역시 10번이 아니라 13번의 삼각함수의 활용은 다소 따끔했고

개인적으로 22번은 6평이 더 어려웠다고 생각합니다.

특히 요번 9평에서는 대칭성 성애자라고 할 수 있을 정도로

대칭성이 많이 쓰였던 것 같습니다. (이등변삼각형 등등)

아무리 강조해도 지나치지 않을 만큼 빈도수면에서 압도적이니

요번 수능에서도 반드시 대칭성을 고려해서 문제를 접근하시기 바랍니다.

기출문제가 완료된 친구들은 실모 뿐만아니라 N제도 꼭 풀어주면서 

난이도 있는 문제들을 대비하시는 것을 추천드립니다.

(확통) 

기출문제를 확실히 체화했다면 무난하게 푸실 수 있었습니다. 

개인적으로는 라이트 N제 확통 만으로 충분히 대비 가능했다고 생각합니다.

ㅆㄱㄴ

(미적분) 

선택과목중에서는 제일 난이도가 높았다고 볼 수 있었습니다.

요즘 특히나 6평도 그렇고 9평도 그렇고 삼각함수 도형극한 문제가

다소 따끔하게 출제되고 있습니다.

어렵게 나올 가능성이 높기 때문에 단단히 준비할 필요가 있을 것 같습니다.

또한 삼각함수 도형극한에 코사인 사인법칙이 녹아 있을 수 있다는

생각을 반드시 하셔야합니다.

사실 29번과 30번은 새로운 유형이기 보다는 기존의 기출문제를

재조합한 문제에 가깝습니다. ( 참고로 30번의 몫함수 적분은 과거 기출에도 종종 출제된 적이 있음)

하지만 재조합도 재조합 나름이라고 실전에서는 결코 만만치 않은 문제들이었습니다.

공통과 마찬가지로 4점의 난이도가 다소 상승하였기 때문에 

기출만 답습할 것이 아니라 기출을 완료한 학생들은 

N제들과 실모를 풀면서 난이도있는 문제들을 접해볼 것을 추천드립니다.

미적분도 라이트 N제로 충분히 커버 가능하였다고 생각합니다.

(기하)

비교적 평이하게 출제되었고 기출문제 선에서 큰 무리 없이 모두 커버될 수 있는 문항들이었다고 생각합니다.

만약 29번과 30번을 풀 때 조금 빡빡했다면 고난도 공간도형 문제 평면 벡터 자취문제들을 집중적으로

풀어보시길 권장합니다. 기하의 경우에는 라이트 N제로 충분히 커버가능했다고 생각합니다.

시험치시느라 정말 정말 정말 수고 많으셨습니다 !!

마지막으로 해드리고 싶은 말은

13년동안 수능판에 있으면서 매번 수능 시험지를 볼 때마다 느끼는 거지만

6 9 수능은 독립적인 시험이라는 것입니다. 

너무 걱정하지마세요~ 

어차피 수미잡입니다. 

9평시험지를 통해 철저하고 냉철하게 피드백해보시고 

약점을 파악해보셨으면 좋겠습니다.

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