a<b일 때 0<af(b)<bf(a)이면 f(x)는 위로 볼록?
게시글 주소: https://o.orbi.kr/0005003804
(09년도 대비 9월 평가원 수리 가형 11번입니다. 문제에는 x,y로 조건이 써있는데, a,b로 수정했어요.)
요약
다항함수 f(x), f(0)=0
0<a<b<1인 모든 a,b에 대해 0<af(b)<bf(a)이다.
이때 f''(x)<=0임을 증명.
-----------------------------------------------------------------
조건
다항함수 f(x), f(0)=0
0<a<b<1인 모든 a,b에 대해 0<af(b)<bf(a)이다.
보기생략
일반적인 풀이
0<f(b)/b<f(a)/a이므로 '그려보면' 위로 볼록인 개형이 나온다. 따라서 위로 볼록으로 잘 그려서 삼각형 열심히 만들어서 풀면 됩니다.(보기나 뒤쪽 해설같은건 생략할게요. 논지에서 벗어나니)
물론 저렇게 풀면 답이 잘 나옵니다만, 수식으로만 유도해보고 싶은데 잘 안나오네요.
우선 a<b일 때 f(b)/b<f(a)/a이므로 (0,1)에서 f(x)/x는 감소함수입니다. 즉 (f(x)/x)'<=0이고, h(x)=xf'(x)-f(x)로 놓으면 h(x)<=0입니다.
f(0)=0에서 h(0)=0이므로 h(x)의 그래프는 원점을 지납니다.
이제 h(x)가 (0,1)에서 감소함수임을 보이면 h'(x)=xf''(x)<=0이 되고, x>0이므로 f''(x)<=0, 즉 위로 볼록임을 증명할 수 있습니다. 그런데 이게 진짜 잘 안나오네요. 식조작을 어찌하면 좋을까요.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
e(x^2)도 변수 있음 밖으로 꺼낼 수 있는거애요? 왜 나 못 봤지
-
그냥 내가 잘 볼 거라는 사실만 존재하는거임
-
What's up, guys? This is Ryan from Centum...
-
매 교시마다 함?
-
안녕하세요 저는 올해 노베로 재수 시작한 05년생입니다 공부라곤 ㅈ반고에서 내신...
-
과탐 못해먹겠다
-
이번에도 개이쁘네 으흐흐
-
수학>=탐구>국어>영어 순이 맞음?
-
지금 능률보카 1회독하고 다시보는중이고 고2모고 찍맞제외하면 높3,고3모고는...
-
도입부보소
-
-
다음닉 확정 5
수능점수가 하늘을 뚫어입니다 간만에 에피메테우스 닉 안달겠네요
-
어느과 지를지 직관적으로 보임
-
수학같은거 접어서 풀어서 항상 접고 시작하는데
-
고1 내신 이후로 한국사 공부 안 해도 모고는 1~2등급이 나옴
-
그냥 태어나지말걸
-
특히 40, 45번
-
라인이 좀 낮지 않은 이상 어차피 다 진학사 보고 쓰기 때문 그렇기에 학생의 등수를...
-
있잖아, 지금 나를 팔로우하면 너도, 나도 팔로워가 하나씩 늘을 수 있어! 7
아래 팔로우 버튼 누르면 돼! 1000덕 선물 받고 가!
-
영어 노베한테도 들을 수 있는 수업인가요?
-
냥이추
-
김동욱 GOAT 0
07 정시러인데 이번에 김동욱쌤 일클 듣고 좋아서 겨울에 현강 들으려고 했는데...
-
복수전공이나 부전공 하고계시나요 저 대학가면 부전이나 복전해서 배우고싶은게 ㅈㄴ...
-
시즌 3 8회 답지 있으신분 있나요 ㅠㅠ 독서실에 두고 와서요 부탁드립니다 ㅠㅠㅠㅠ
-
6시반 시험이니까 수능 끝나고 가면 늦지 않겠군...
-
아 화작할걸 27
놀랍게도 작년 이맘때도 이 생각 했었는데 ㅠㅠ
-
안녕하세요. 언제나 올바른 교육을 추구하는 수놀음 수능교육센터입니다. 우리 센터의...
-
프사 바꿨습니다 11
-
영어 듣기푸는동안 2페 3문제 4페 4문제 푸는게 정배아님? 8
7문제 풀고 뭔가 더 하려고하면 듣기 뒷부분에서 실수나오던데
-
적생모 맨날 35-41이길래 큰일이라고 생각했는데 기출 푸니까 47 48이네 탐구 제발 5050
-
시즌3급 각오하고 들어가야됨? 진짜 문제 거지같았었던 기억이...
-
미리 연습한다 생각해야지
-
수능도 그런거 튀어나올까봐 겁나노 진짜 이때까지 수능때 나온건 안어려워서 다 맞았는데 하...
-
역학 전기 기출 22부터 갑자기 다 어려워지네
-
언매 39번 존나 사악한게 보기도 존나 길고 답 선지도 존나 긴데 답이 5번이...
-
100일전에도 같은말한듯
-
올해 대학 어디갈 지 맞추면 입시 끝나고 10만덕 드림 11
전에도 올려본 적 있는데 흠
-
다들 밤에 찬 공기 마시면서 하늘 한번씩 보세요 서울에서도 나름 보여요 내가 꿈꾸던...
-
원래 그런것이다. 수능도 그냥 마음편하게 보면 된다. 마음 편하게 볼때 성적이 가장...
-
N수에 대하여 9
육수 : 부모님의 등골을 고아내어 만든 물
-
-
그런 나쁜말은 ㄴㄴ
-
영어는 이러다가 다시 4등급나올거같음
-
지학하시는분들 5
열수지 이거 요즘 나오나요?
-
2컷에서 2점짜리 하나 더 틀렸으니 만족 수능때도 2컷~높3 나오자 제발
-
사고의 전환 1
군필사수는 미필재수와 같다 근데 나는 수능을 3번 볼 예정이다(23, 24, 26)...
-
일부 보기 문제 도저히 납득이 안되는데 그리고 걍 줫나 어렵네 ㅅㅂ
-
싹다 차단한다.
-
4수부턴 하위문화 5수부턴 반문화
-
제가 주간지가 없으면 주간지 분리불안 증세가 오는데요 올해 원준쌤 계간지 이전에...
애초에 명제를 생각해낸 논리부터 고려하셔야 될 거 같아요. ' 00에서 0보다 클 때, f(a)/a>f(b)/b이면 f(x)는 위로 볼록이다'라는 명제를 수식으로 증명하려고 할 수 있지만, 역으로 반례를 찾으면 거짓이 됩니다. 아마 대강의 그림을 그려보시면 반례를 찾으실 수 있을 겁니다. 아니면 적당한 삼차함수를 잡으시고 기울기를 관찰하셔도 됩니다. 즉, 수식으로 참임을 증명할 수 없습니다.
조건이 af(b)/b뿐이라면 반례가 존재합니다. 그런데 실제 저 문제를 풀때 명시된 조건을 가지고 위로 볼록으로 판단해서 푸는 해설말고 다른 해설을 본적이 없어서 질문올린거에요 ㅎㅎ ㅠㅠㅠ물론 여기서 위로 볼록은 (0,1)에서의 위로볼록입니다.
저도 완전한 풀이 올리고 싶은데 수험생인지라 시간이 너무 오래 걸릴 거 같네요 ㅜㅜ(어려운 문제긴 해요 ㅋㅋ), 대신에 포카칩님이 쓰신 '수학영역의 비밀'이라는 책에 이문제에 대한 논리적인 풀이가 있습니다. 아마 해답지 말고 본문 속에 있을 거에요. 주변에 친구 책이나 아니면 서점 가셔서 한번 찾아보시길!!
오오 그렇군요 한번 찾아봐야겠네요 ㅇㅂㅇ
명시된 조건은
다항함수 f(x), f(0)=0 0