(수정재업) 밀도형 자료의 내분과 평균변화율

이전 내용이 좀 부족해서 설명추가해서 재업합니다.ㅋㅋ 박제하려고요..

안녕하세요, 논리화학입니다. 원래 계획대로면 8월 초에 2가산 보충 하기 전까지 딱히 글을 쓸 일이 없었는데 오늘 아침에 밥을 먹다가 밀도 내분 관련해서 설명 아이디어가 떠올라서 짧게 글을 써 봅니다. 나중에 설명을 이거로 바꾸려고요. 이미 직관적으로 알고 계셨을 분들도 있을거고, 당연한 내용입니다.

Chemistry Logistics 110p를 보면 이런 내용이 있습니다.

사실 여기를 쓰면서 좀 고민을 많이 했는데, 저게 되는게 너무 당연한데 이를 설명 할 방법이 그냥 '식 모양이 그렇다'라고 하는거 말고 딱히 없더라고요. 직관적으로 너무 당연하지만 뭔가 전달이 잘 안되는 느낌이었습니다.

단위X당 Y의 자료의 경우, X에 대해 Y의 양이 비례하는 상황입니다. 예를 들어 단위 질량당 원자수가 4라면 3g있으면 대충 원자가 12개있다고 할 수 있는것처럼요.

즉 어떤 물질 A에 대해 단위 X당 Y가 a라면, Y=aX꼴로 나타낼 수 있습니다.

또 어떤 물질 B에 대해서도 단위 X당 Y가 b라면 Y=bX꼴로 나타낼 수 있겠죠. 이걸 기하적으로 나타내면 다음과 같습니다.

이 상황의 경우 단위 X당 Y가 각각 1, 3이라고 할 수 있겠네요. (기울기) 이제부터 설명 편의상 가로축을 부피, 세로축을 질량이라고 해 봅시다. 또 파란선을 A, 초록선을 B라고 합시다.

이제 예를 들어, A가 1, B가 1만큼 있다면 평균변화율(즉, 평균밀도)은 당연히 2입니다.

한편, A가 3, B가 1만큼 있다면 평균변화율은 1.5(=(3+3)/4)인데요, 이건 A와 B를 1:3으로 내분한 것과 같습니다. 이제 이 이유를 설명 해 봅시다.

상황은 그대로 A(기울기 1)을 3개, B(기울기 3)을 1개 넣은 상황입니다.

이제 주황선은 평균변화율인 1.5를 반영하여 y=1.5x를 나타낸 상황입니다.

x축의 값이 4일때를 보면, A는 4, 평균은 6, B는 12입니다. 평균으로부터의 거리비가 1:3이네요. 즉 1:3내분점입니다.

이제 주황색인 y=1.5x를 파랑색이랑 초록색에 각각 빼서 그래프로 나타내 봅시다.

각각 y=x와 y=3x에서 y=1.5x를 뺐으니, y=-0.5x와 y=1.5x가 됩니다. 그러면 x축으로부터의 거리비가 1:3이 됩니다.

이제 파란선을 따라 오른쪽(x축)으로 3만큼 움직이고 초록선을 따라 오른쪽으로 1칸 움직이면 당연히 x축이랑 닿아야 하는게 눈이 보입니다. 지금 상황은 평균변화율인 1.5x를 뺀 상황이니, x축과 닿는다는건 평균변화율과 일치한다는 말 입니다. 

위에 써 놓은 '오른쪽으로 3만큼 움직인다'를 물질의 관점에서 보면 '물질 A를 3만큼 넣었다'라고 할 수 있겠죠. 즉 물질 A를 3만큼 넣고 물질 B를 1만큼 넣었더니 평균변화율이랑 일치했다는 뜻 입니다.

이제 이 상황을 일반화해서 생각하면 밀도형 자료가 내분되는게 더 직관적으로 와닿습니다.

어떤 느낌으로 하시면 되는지 수학적으로 설명 해 보겠습니다.

내분하고 싶은 두 일차함수를 ax와 bx라고 생각합시다.

이제 우리가 ax와 bx에서 적당한 일차함수를 그냥 뺍니다(당연히, 기울기는 a와 b 사이입니다)

그러면 위 그림처럼 x축과의 거리비를 가지는 일차함수가 될겁니다.

그러면 그 거리비가 존재비율의 반대가 됩니다. 이유는 아까처럼, 오른쪽으로 적당히 움직여 보면 바로 알 수 있습니다.

사실 이 설명은 원래 pdf(119p)에 보너스로 있던 일차함수 내분을 거꾸로 읽은 느낌이죠. 이전엔 밀도가 내분되니깐 일차함수도 내분된다는 식의 증명이었습니다. 이번엔 일차함수가 내분되니깐 밀도도 내분된다라는 느낌으로 설명하는 느낌입니다.