시그마는 인테그랄 안밖을 마음대로 왔다갔다 할 수 있나요?

Question

시그마는 인테그랄 안밖을 마음대로 왔다갔다 할 수 있나요?

시그마랑 인테그랄 성질 좀 정리해주세요 ㅠㅠㅠ.

시그마로 이어진 수열은 1.덧셈과 뺄셈은 분배가능 2.상수는 앞으로빼서 따로계산가능 3.k=1부터 n까지의 시그마는
nc(c는 상수)

인테그랄은 상수 밖으로 나갈수 있고, 합차 나눠서 할수 있고(각각으로), 분할해서 할수 있고의 특징이 있잖아요..시그마도 그런지.. 두개가 헷갈려요 개념은 알겠는데,, 성질이 ㅠ.ㅠ

Acezero · Accepted Answer

시그마가 곧 인테그럴..적분지렁이에요

sos440 · Answer

시그마와 적분은 차이가 없어요. 애초에 적분이 구분구적법에 의해 얻어지는 특수한 꼴의 시그마에 극한을 취한 것임을 생각해보세요.

한편 시그마와 적분의 순서를 바꿀 수 있냐는 질문에는 조금 신중하게 답해야 합니다.

시그마가 만약 유한개의 항을 합하고 있다면, 이 경우 시그마가 함에 의해 분배된다는 사실을 '유한 번' 적용해서 얼마든지 순서를 바꿀 수 있습니다. 쉽게 표현하자면,

∑ ∫ f_k(x) dx
= ∫ f_1(x) dx + ∫ f_2(x) dx + ∫ f_3(x) dx + … + ∫ f_n(x) dx
= ∫ {f_1(x) + f_2(x)} dx + ∫ f_3(x) dx + … + ∫ f_n(x) dx
= ∫ {f_1(x) + f_2(x) + f_3(x)} dx + … + ∫ f_n(x) dx
…

= ∫ {f_1(x) + f_2(x) + f_3(x) + … + f_n(x)} dx
= ∫ ∑ f_k(x) dx

가 됩니다.

하지만 여기서도 추측할 수 있듯이, 무한합과 적분의 순서를 바꿀 수 있냐는 질문에 대해서 위와 같은 풀이는 더 이상 먹히지 않게 됩니다. 그리고 실제로 반례도 존재합니다. 무한합과 적분의 순서를 바꿀 때에는 그래서 상당히 신중해야 합니다. (물론 그래서 고등학교 때 이런 식의 문제는 직접 계산으로 땜빵 가능한 경우를 빼고는 등장하지 않습니다. 대학교 미적분에서는 구렁이 담넘어가듯이 얼버무리는 경우가 많고요.)

시그마는 인테그랄 안밖을 마음대로 왔다갔다 할 수 있나요?

시그마로 이어진 수열은 1.덧셈과 뺄셈은 분배가능 2.상수는 앞으로빼서 따로계산가능 3.k=1부터 n까지의 시그마는 nc(c는 상수)

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