수2 문제 질문이요

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분수방정식 2x^2+ax+b/(x+1)(x-2)=0이 근을 갖지 않도록 하는 상수 a,b에 대하여 a+b의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 하자. 이때, M +m의 값을 구하여라

이문제에서 해설서에는 무연근 -1, 2를 각각 중근으로 갖거나 둘을 근으로 갖는 3가지 경우로 풀었는데요. 여기에다가 2x^2+ax+b 자체가 허근을 갖는 경우도 있지 않나요? 그래서 D<0 해가지고 a,b를 x축 y축으로 변환시켜 풀라고 했더니 최솟값, 최댓값이 안나오네요 왜 허근을 생각 안해준거죠?

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sos440 · 104180 · 11/12/13 18:26 · MS 2005

그러게 말입니다. 방정식을 복소범위에서 생각하기 시작하면 고교범위에서는 상당히 골치아픈데 말이지요 -_-;;

어차피 저런 애매한 식의 서술은, 적어도 수능을 염두해두고 계신다면, 절대로 나올 리가 없으니 안심하세요.

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달나라초이 · 387069 · 11/12/13 19:37 · MS 2011

윗분 말씀과는 다르게, 분수방정식은 복소수까지가 근의 범위에 포함됩니다.
복소수까지가 근의 범위에 포함 되기 때문에, 2x^2+ax+b=0.. 이 방정식이 허근을 가질 때도 근이 있는 겁니다.(허근도 근입니다.)
2x^2+ax+b=0 (복소수 범위에서 판단할때, 모든 이차방정식은 일반적으로 근이 두개입니다.)
그렇다면 저 방정식이 근을 갖지 않기 위해서는 무조건 무연근(-1,2)를 근으로 가질때이죠.

만약 분수방정식이 실근만 근으로 친다면 님의 말씀도 일리가 있지만, 분수방정식은 복소수범위까지 근으로 치기 때문에,
허근을 갖을 때에도 당연히 근을 갖는다고 보셔야 합니다.

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서울대 자유전공 · 307841 · 11/12/13 21:40

음.. 그렇군요. 제가 수리나형에서 가형으로 넘어와서 개념의 차이를 느끼네요. 원래 이차방정식 자체가 근이 없다고 보면 D<0이라고 보면 되는줄 알았는데 생각해보니 이건 실근의 존재유무라고 볼수 있겠네요, 근의 존재 유무 자체는 따지는 방법이 없겠군요...

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달나라초이 · 387069 · 11/12/13 23:42 · MS 2011

네. 모든 n차 방정식은 (복소수 범위까지 근으로 따질때) n개의 근을 갖습니다.
따라서 2차 방정식에서도 (복소수를 근의 범위라 잡을때는) 근의 유무는 따질 필요가 없어요. 무조건 근은 2개니깐요.(물론 중근도 2개의 근으로 봐야하고요.)

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sos440 · 104180 · 11/12/14 00:33 · MS 2005

저도 학원 다닐 시적에 분수부등식은 실근만, 분수방정식은 모두 포함이라는 식으로 배우긴 했지만

한편으로는 제 기억 어디에서도 교과서나 수능상에서 (명시하지 않은 한) 복소수근을 언급하는 경우를 본 적이 없다고 판단하여 저렇게 답했는데

아마 제가 잘못 알고 있었나 보군요. 괜히 혼란스럽게 한 것 같아서 죄송합니다.

솔직히 수학적으로 납득은 안 가지만 (수능문제를 내는 중심이 교수들이라는 걸 생각해보면, 저도 수학과인 입장에서 저런 조건을 언급하지 않아 혼란을 주고 싶진 않을 것 같군요),

실제로 교과서나 수능에서 그렇게 방향을 잡고 있다면 그런 것일 테니까요;;;

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